segunda-feira, 13 de outubro de 2008

Hidrostática

Princípio de Arquimedes (Empuxo)

O empuxo leva o nome de Princípio de Arquimedes devido a história contada no “post” abaixo. Fazendo um breve resumo, o sábio grego descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo imerso na água se torna mais leve devido a uma força, exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo. Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas forças: a força peso, devida à interação com o campo gravitacinal terrestre, e a força de empuxo, devida à sua interação com o líquido.



"Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo fluido; esta força é denominada empuxo, cuja intensidade é igual à do peso do fluido deslocado pelo corpo."

  

E = Pfd = mfd . g = df . Vfd . g

E = df . Vfd . g

onde df = densidade do fluido e Vfd = volume do fluido deslocado.


Quando um corpo é composto de material menos denso que o fluido onde está imerso, pode encontrar uma posição de equilíbrio flutuando na superfície. Este é o caso dos icebergs que ficam estáveis flutuando na água quando a porção de volume imersa gera empuxo suficiente para sustentar seu peso. Ou seja, denotando por Vi o volume imerso do iceberg, VT, seu volume total e ρg a densidade do gelo, a condição de equilíbrio se torna:



Resolvendo para Vi, 

 

Assim, obtemos que o volume imerso de um iceberg equivale a 92% de seu volume total, ficando apenas 8% visível fora d'água, dando origem à expressão "a ponta do iceberg".

Flutuação


Para um corpo flutuando em um líquido, temos as condições a seguir.

 

1) Ele encontra-se em equilíbrio:

E = P


2) O volume de líquido que ele desloca é menor do que o seu volume:

Vdeslocado menor que Vcorpo


3) Sua densidade é menor do que a densidade do líquido:

dcorpo < dliquido


4) O valor do peso aparente do corpo é nulo:

Paparente = P - E = O



A relação entre os volumes imerso e total do corpo é dada por:

E = P è dliquidoVimersog = dcorpoVcorpoè 

domingo, 12 de outubro de 2008

Biografia de Arquimedes


              Arquimedes, em grego, significa Grande Pensador, o que faz jus a estre grande contribuidor da matemática e física mundial. Nascido em Siracusa na Sicília,  filho de um astrônomo, foi o maior cientista e matemático da antiguidade. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geómetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da sua vida principalmente como inventor e matemático. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais. No prefácio de "Sobre espirais Arquimedes" nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...

               

                "... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível."


                De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Uma das estórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", contada da seguinte maneira: 


                "Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma. Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Heureka! Heureka!, isto é, "encontrei! encontrei!". 

                Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso. Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso. Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão".

               

              Durante a Segunda Guerra Púnica, aproxidamamente em 212 a.C., contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como:


 - Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas;

              Durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150kg teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa.


 - Um enorme jogo de espelhos planos, formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento, que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo. Não há comprovações históricas de que esse fato realmente ocorreu.

         Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technolgy (MIT) conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local.


 - Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa;


          Arquimedes foi morto por engano por um soldado romano, apesar dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos tinham uma enorme admiração por ele. Diz-se que quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o gênio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho de uma esfera dentro de um cilindro, que fazia parte de uma das suas demonstrações matemáticas favoritas.